00 现实中的湍流｜水龙头那一柱白

早上七点四十，洗脸。水龙头拧到一半，水是一根透明的柱子，边缘光滑，能看见它微微发弯。再拧大一点，那根柱子在某处突然”炸”开，变成一片白，落进池子里哗哗响。

这件事每天发生几十亿次，但从”一根柱”到”一片白”，中间隔着一门学科。

抽油烟机开着，锅上方的油烟本来是一缕细线，升到某个高度突然开始扭，然后散成一片。窗外的旗子，风小的时候它垂着，风一大它就开始抖，抖的频率还挺稳定。

这两个现象是同一件事：流体从”整齐划一”变成了”东一个西一个”。 前者叫层流，后者叫湍流。

一个能被数出来的涡

1911 年，哥廷根的水槽边，冯·卡门盯上了圆柱后面那两排涡。

现象是1908 年 Bénard第一个拍到的，只是一直没人说得清为什么偏偏排成那样。卡门把它算了出来：两排涡一左一右交替脱落，横向间距和纵向间距的比值落在 0.28 左右，这个数不是他随口说的——在所有可能的排列里，只有这一种是稳定的，别的都会被自己搅散。

这就是卡门涡街（von Kármán vortex street）。圆柱绕流在 Re 几十到几千的区间里，尾流基本就是这个样子。

它导致了后来一台工业设备的诞生——涡街流量计的原理就是数涡：涡脱落的频率 f 和流速 U 成正比，f=St· U/d，圆柱的 St 大约 0.2。数一数涡掉得多快，就知道管道里流得多快。一个 1911 年的水槽观察，一百年后变成了电厂和化工厂里最耐用的流量计之一。

也是它，让高层建筑、烟囱、换热器管束、桥梁缆索集体头疼——涡交替脱落会把结构往两边推，推的频率要是撞上结构自振频率，那就是涡激振动。

涡能看见，能数，能量。但当你让计算机去算它时，它会给出一大堆模型，让人眼花缭乱，无从下手。

01 方程是怎么堆出来的

一、 先明确一件事：方程只有一套

不可压缩黏性流动只有一个方程组。1822 年 Navier 写下，1845 年 Stokes 补完，一百八十年过去，一个字没改。

问题在左边第二项：速度乘上速度的梯度，一个非线性对流项。湍流之后的所有故事，都是从这项长出来的。

1883 年，雷诺在圆管里滴染色液，把这个”排队与乱走”的分界定量化了：Re=ρUL\μ，惯性力与黏性力之比。Re 小，黏性把扰动抹平；Re 大，惯性把扰动放大。

而湍流不是简单的”乱”，它是分级的。大涡从平均流里吸能量，碎成中涡，中涡碎成小涡，一路碎到黏性把能量磨成热。1922 年 Richardson 给这件事写了首打油诗，大意是：大涡养小涡，小涡吃它的速度，小涡养更小的，一路到黏性为止。这就是能量级串。

最小的涡有多大？

ν 是运动黏度，ε 是单位质量流体每秒被耗散掉多少湍动能，η 是最小涡的尺度，叫 Kolmogorov 尺度。流动特征尺度 L 与 η 之间的跨度，随 Re 的四分之三次方增长。跨度直接变成网格量，三维 DNS 需要：

Re 等于 10⁴ 的管道，N 大约 10⁹，勉强能算。一架小飞机的 Re 在 10⁷ 到 10⁸，N 就是 10¹⁶ 到 10¹⁸。这个数字过于庞大，以至于全世界所有超算加起来，也难以算出它飞一秒的情形。

一个方程，一套物理，工程上却解不动。二十几种湍流方程的全部来历，就在”解不动”这三个字里。

二、 平均一下，就多出六个未知数

工程上第一反应是：既然算不了每一秒的细节，那我只算平均值行不行？

行。把速度拆成”平均值 + 脉动值”，代回方程，再对整个方程取时间平均：

这一项叫雷诺应力。因为对称，它只有 6 个独立分量。你多了 6 个未知数，却一个方程都没多。

这就是封闭问题。数学上欠定，工程上不能不算，于是只能猜。一百年来，所有湍流模型干的都是同一件事：用某种办法，把这 6 个未知数猜出来。

第一个猜法很聪明。1877 年 Boussinesq 说，湍流那些乱七八糟的脉动，就当它是一种”特别黏的流体”好了：

一个涡粘系数，顶掉 6 个未知数。代价是宣布所有方向的脉动都各向同性——贴着壁面、绕着旋流、被浮力托着的时候，这个假设其实差得远。后面这二十几种模型，大半是在替这个假设打补丁。

三、 一百年，几轮补丁：每轮都是算力的产物

模型之所以这么多，不是因为物理有二十几个版本，是因为每一代人都按当时自己手里那台机器的算力做了一次最优化的妥协，而这些妥协全被保留下来了。

年代	诞生的模型	那时候的机器能干什么
1920s	混合长度（零方程）	手算时代，只负担得起一个代数式
1940s–60s	一方程模型	电子计算机刚出现，能解一个输运方程
1970s	k-ε（两方程）	能解两个耦合输运方程了，湍流终于”有了自己的方程”
1980s	k-ω	发现 k-ε 贴壁不灵，换一个近壁量纲更友好的变量
1990s	SST、S-A	工程要”贴壁准 + 抗分离 + 别太娇气”，于是拼接、简化
1990s–2000s	LES、DES、转捩模型	算力涨了两三个数量级，开始敢算瞬态

第一轮，Prandtl 1925 年的混合长度。涡粘写成密度、混合长度的平方、速度梯度三者的乘积：

混合长度靠几何和经验给，在管道和平板边界层里给得极准，到了复杂几何就变成”我觉得大概取多少”。省事，但只在自己的标定工况里准。

第二轮，Spalart-Allmaras（1992）一方程模型，直接解一个涡粘量的输运方程。航空外流用得多，鲁棒、便宜、对壁面网格不挑，它见过的场面主要是附着流和温和分离。

第三轮是黄金年代。k-ε（Launder & Spalding, 1974）解湍动能 k 和耗散率 ε：

用算账的说法来形容的话，k 是账上还剩多少湍流的钱，ε 是每秒花掉多少；k 除以 ε 是这些涡还能活多久，再乘上 k，即为涡粘的大小。它生在自由剪切流和内流，所以管道、换热器、搅拌罐、射流是它的主场。它没怎么见过强逆压梯度、强旋流、大范围分离，在这些地方它会过度生产湍动能，把分离区算小、把阻力算小。所以有后来的两个补丁： RNG（1986）和 Realizable（1995）。

第四轮是拼接。ω 是比耗散率，近壁量纲更友好，能一路算到壁面，不需要壁面函数；Menter 1994 年近壁用 k-ω、远场用 k-ε，中间拿混合函数接起来，就是 SST。这是湍流建模史上最成功的一次拼接。

第五轮，算力终于够看瞬态了。RANS 是时间平均，LES 是空间滤波，只抹掉比网格尺度更小的涡，剩下的亚格子应力建模，最经典的是 Smagorinsky（1963，出身气象学）：

壁面解析的 LES 要求 y+ 大约 1，边界层里塞十几到二十层，网格量随 Re 涨得比 RANS 快得多。它换来的东西 RANS 给不了：涡脱落频率、压力脉动谱、气动噪声。就好比RANS 给你一张平均照片，LES 给你一段录像。录像虽贵，但有些问题只有录像能回答。

到这儿还嫌不够，于是有了 DES（Spalart 等，1997）：壁面用 RANS，外区切 LES，靠网格尺度自动切换。麻烦是网格一加密就误切，切过去又解不出该有的应力，算出一片假分离（网格诱导分离），于是 DDES 加延迟函数，IDDES 再兜一层。

四、 所以为什么是二十几种

总结下来有以下两个原因：

一，数学上本来就没有唯一解。 那 6 个未知数，任何封闭方式都是在赌”湍流在什么意义下像黏性”。赌法不同，模型就不同。

二，每个模型都只在自己的标定工况上适用。 k-ε 的常数是在管道和射流上标出来的，SST 的混合函数是在翼型逆压梯度里试出来的，S-A 是在机翼外流上验的。没有一份说明书会写”离开本地概不负责”，但它们确实都是这么干的。而随着不同领域的需要，往往也会出现新的湍流模型。

正如统计学家 Box 所说：所有模型都是错的，但有些是有用的。

02 这些方程都用在哪儿

一、 一张对照表

场景	首选	备选	理由
管道、阀件、换热器内流	Realizable k-ε	SST、标准 k-ε	曲率与旋流多，k-ε 家族便宜、标定数据多
翼型、机翼、整机外流	S-A（Spalart-Allmaras）	SST	附着流为主，壁面网格经济，鲁棒
汽车、建筑与城市风环境	Realizable k-ε	SST、LES	地面效应加大分离，LES 更看细节
涡轮、压气机	SST + 转捩模型	DES	强逆压梯度加转捩，SST 的主场
强旋流：旋风分离器、燃烧室	RSM	SST、LES	涡粘假设在这里最先失效
自然对流、浮力分层	带浮力修正的 k-ε	RSM	浮力产生项必须显式进来
气动噪声、压力脉动	LES、DES	—	要的就是瞬态，RANS 直接出局
层流到湍流的转捩	γ-Reθ（SST 基底）	e^N 方法、SST-γ	转捩是另一套物理，加密网格解决不了
多相流、燃烧	k-ε 加壁面函数	LES	工程折中，先保证跑得动
机理研究、模型标定	DNS	—	只做低 Re、简单几何，用来造”真值”

二、 三条判据，比背表格省心

第一，看是内流还是外流。 内流（管道、阀件、换热器）优先 k-ε 家族：便宜、稳、工业标定数据多。外流（翼型、车身、建筑）优先 S-A 和 SST：壁面网格经济，抗逆压梯度。

第二，关注”强”字。 只要你的问题描述里出现强旋流、强逆压梯度、强浮力、强曲率，涡粘假设就开始不灵，得往 RSM 或 LES 走。这几个”强”字，就是各向同性假设失效的信号。

第三，看要的是不是瞬态。 要涡脱落频率、要压力脉动的谱、要气动噪声，RANS 从第一步就是错了——它把时间抹平了，本来就没有频率可言。

写在最后

现在回到早上七点四十那个水龙头。

出水口内径算 8 毫米，流速 0.3 米每秒，水的运动黏度 10⁻⁶ 平方米每秒。Re 大约 2400。

这个数正好压在圆管转捩的临界区上。 所以它才那么”敏感”——你手稍微动一下，它就从一根透明柱子变成一片白。白是因为湍流段把空气卷了进去，剪成一堆小气泡，光在里面散得乱七八糟。

如果真有人要算这柱水，k-ε 会直接把整段当成全湍流，把转捩那一段抹掉，算出个”从头就乱”的流场。要算准，得用转捩模型，或者干脆上 LES。

水龙头那个白，你每天都看见。但看见和算出来之间，隔着一百年。

总之，即使是随处可见的水龙头也得选模型。湍流的二十几种方程其本质都是一样的，二十多种不同的形式代表着二十多种的妥协。每一种都代表着当时的算力上限和一批人的耐心。

PS:转捩模型是什么

转捩指出湍流如何开始，并非指湍流本身。层流边界层在顺流方向上失稳、破碎、最终变成湍流，这个过程叫转捩；转捩发生的位置叫转捩点。在工程上，它比“是不是湍流”更关键，因为阻力、传热系数和分离位置都由转捩点控制，转捩点前移几毫米，翼型阻力和涡轮效率就会出现明显变化。